第一部分: 《高數(shù)解題的四種思維定勢》
1.在題設條件中給出一個函數(shù)f(x)二階和二階以上可導,"不管三七二十一",把f(x)在指定點展成泰勒公式再說。
2.在題設條件或欲證結(jié)論中有定積分表達式時,則"不管三七二十一"先用積分中值定理對該積分式處理一下再說。
3.在題設條件中函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0,則"不管三七二十一"先用拉格朗日中值定理處理一下再說。
4.對定限或變限積分,若被積函數(shù)或其主要部分為復合函數(shù),則"不管三七二十一"先做變量替換使之成為簡單形式f(u)再說。
第二部分: 《線性代數(shù)解題的八種思維定勢》
1.題設條件與代數(shù)余子式Aij或A有關,則立即聯(lián)想到用行列式按行(列)展開定理以及AA=AA=|A|E。
2.若涉及到A、B是否可交換,即AB=BA,則立即聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。
3.若題設n階方陣A滿足f(A)=0,要證aA+bE可逆,則先分解出因子aA+bE再說。
4.若要證明一組向量a1,a2,...,as線性無關,先考慮用定義再說。
5.若已知AB=0,則將B的每列作為Ax=0的解來處理再說。
6.若由題設條件要求確定參數(shù)的取值,聯(lián)想到是否有某行列式為零再說。
7.若已知A的特征向量&zeta0,則先用定義A&zeta0=&lambda0&zeta0處理一下再說。
8.若要證明抽象n階實對稱矩陣A為正定矩陣,則用定義處理一下再說。
第三部分《概率與數(shù)理統(tǒng)計解題的九種思維定勢》
1.如果要求的是若干事件中"至少"有一個發(fā)生的概率,則馬上聯(lián)想到概率加法公式當事件組相互獨立時,用對立事件的概率公式。
2.若給出的試驗可分解成(0-1)的n重獨立重復試驗,則馬上聯(lián)想到Bernoulli試驗,及其概率計算公式。
3.若某事件是伴隨著一個完備事件組的發(fā)生而發(fā)生,則馬上聯(lián)想到該事件的發(fā)生概率是用全概率公式計算。關鍵:尋找完備事件組。
4.若題設中給出隨機變量X ~ N 則馬上聯(lián)想到標準化X ~ N(0,1)來處理有關問題。
5.求二維隨機變量(X,Y)的邊緣分布密度的問題,應該馬上聯(lián)想到先畫出使聯(lián)合分布密度的區(qū)域,然后定出X的變化區(qū)間,再在該區(qū)間內(nèi)畫一條//y軸的直線,先與區(qū)域邊界相交的為y的下限,后者為上限,而Y的求法類似。
6.欲求二維隨機變量(X,Y)滿足條件Y&geg(X)或(Y&leg(X))的概率,應該馬上聯(lián)想到二重積分的計算,其積分域D是由聯(lián)合密度的平面區(qū)域及滿足Y&geg(X)或(Y&leg(X))的區(qū)域的公共部分。
7.涉及n次試驗某事件發(fā)生的次數(shù)X的數(shù)字特征的問題,馬上要聯(lián)想到對X作(0-1)分解。
8.凡求解各概率分布已知的若干個獨立隨機變量組成的系統(tǒng)滿足某種關系的概率(或已知概率求隨機變量個數(shù))的問題,馬上聯(lián)想到用中心極限定理處理。
9.若為總體X的一組簡單隨機樣本,則凡是涉及到統(tǒng)計量的分布問題,一般聯(lián)想到用分布,t分布和F分布的定義進行討論。
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