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2015考研高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)定義和求導(dǎo)數(shù)備考注意事項(xiàng)

來源:新浪教育 2014-7-15 16:05:48 要考試,上考試吧! 考研萬題庫
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  話說導(dǎo)數(shù)的由來可是很深遠(yuǎn)的,它有兩大背景,一是幾何背景,二是物理背景。幾何背景是過曲線上一點(diǎn)作該點(diǎn)的切線,要作該點(diǎn)的切線就必須要確定該點(diǎn)處的切線斜率,怎么樣才能把該點(diǎn)的斜率清楚的描述出來呢?就用到了極限,進(jìn)而得到該點(diǎn)的斜率,引申為函數(shù)導(dǎo)數(shù)。物理背景就是研究物理運(yùn)動(dòng)的速度,研究方法與求切線斜率是一樣的,這里就不贅述了。在這里我們并不是要強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)的背景,當(dāng)然幾何背景大家都是熟知的,在這里是要跟同學(xué)們強(qiáng)調(diào)有關(guān)導(dǎo)數(shù)定義和求導(dǎo)數(shù)要注意的幾點(diǎn).

  第一,理解并牢記導(dǎo)數(shù)定義。

  導(dǎo)數(shù)定義是考研數(shù)學(xué)的出題點(diǎn),大部分以選擇題的形式出題,01年數(shù)一考一道選題,考查在一點(diǎn)處可導(dǎo)的充要條件,這個(gè)并不會(huì)直接教材上的導(dǎo)數(shù)充要條件,他是變換形式后的,這就需要同學(xué)們真正理解導(dǎo)數(shù)的定義,要記住幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):1)在某點(diǎn)的領(lǐng)域范圍內(nèi)。2)趨近于這一點(diǎn)時(shí)極限存在,極限存在就要保證左右極限都存在,這一點(diǎn)至關(guān)重要,也是01年數(shù)一考查的點(diǎn),我們要從四個(gè)選項(xiàng)中找出表示左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等的選項(xiàng)。3)導(dǎo)數(shù)定義中一定要出現(xiàn)這一點(diǎn)的函數(shù)值,如果已知告訴等于零,那極限表達(dá)式中就可以不出現(xiàn),否就不能推出在這一點(diǎn)可導(dǎo),請(qǐng)同學(xué)們記清楚了。4)掌握導(dǎo)數(shù)定義的不同書寫形式。

  第二,導(dǎo)數(shù)定義相關(guān)計(jì)算。

  這里有幾種題型:1)已知某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在,計(jì)算極限,這需要掌握導(dǎo)數(shù)的廣義化形式,還要注意是在這一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在的前提下,否則是不一定成立的。

  第三,導(dǎo)數(shù)、可微與連續(xù)的關(guān)系。

  函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)與可微是等價(jià)的,可以推出在這一點(diǎn)處是連續(xù)的,反過來則是不成立的,相信這一點(diǎn)大家都很清楚,而我要提醒大家的是可導(dǎo)推連續(xù)的逆否命題:函數(shù)在一點(diǎn)處不連續(xù),則在一點(diǎn)處不可導(dǎo)。這也常常應(yīng)用在做題中。

  第四,導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。

  導(dǎo)數(shù)的計(jì)算可以說在每一年的考研數(shù)學(xué)中都會(huì)涉及到,而且形式不一,考查的方法也不同。要能很好的掌握不同類型題,首先就需要我們把基本的導(dǎo)數(shù)計(jì)算弄明白:

  1)基本的求導(dǎo)公式。指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)這些基本的初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)都是需要記住的,這也告訴我們?cè)趯?duì)函數(shù)變形到什么形式的時(shí)候就可以直接代公式,也為后面學(xué)習(xí)不定積分和定積分打基礎(chǔ)。

  2)求導(dǎo)法則。求導(dǎo)法則這里無非是四則運(yùn)算,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和反函數(shù)求導(dǎo),要求四則運(yùn)算記住求導(dǎo)公式;復(fù)合函數(shù)要會(huì)寫出它的復(fù)合過程,按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一次求導(dǎo)就可以了,也是通過這個(gè)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,我們可求出很多函數(shù)的導(dǎo)數(shù);反函數(shù)求導(dǎo)法則為我們開辟了一條新路,建立函數(shù)與其反函數(shù)之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系,從而也使我們得到反三角函數(shù)求導(dǎo)公式,這些公式都將要列為基本導(dǎo)數(shù)公式,也要很好的理解并掌握反函數(shù)的求導(dǎo)思路,在13年數(shù)二的考試中相應(yīng)的考過,請(qǐng)同學(xué)們注意。

  3)常見考試類型的求導(dǎo)。通常在考研中出現(xiàn)四種類型:冪指函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程和抽象函數(shù)。這四種類型的求導(dǎo)方法要熟悉,并且可以解決他們之間的綜合題,有時(shí)候也會(huì)與變現(xiàn)積分求導(dǎo)結(jié)合,94年,96年,08年和10年都查了參數(shù)方程和變現(xiàn)積分綜合的題目。

  第五,高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算。

  高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算在歷年考試出現(xiàn)過,比如03年,07年,10年,都以填空題考查的,00年是一道解答題。需要同學(xué)們記住幾個(gè)常見的高階導(dǎo)數(shù)公式,將其他函數(shù)都轉(zhuǎn)化成我們這幾種常見的函數(shù),代入公式就可以了,也有通過求一階導(dǎo)數(shù),二階,三階的方法來找出他們之間關(guān)系的。這里還有一種題型就是結(jié)合萊布尼茨公式求高階導(dǎo)數(shù)的,00年出的題目就是考察的這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

  以上就是有關(guān)導(dǎo)數(shù)定義和計(jì)算的總結(jié),希望可以幫助到考研的同學(xué)們,?佳谐晒,加油!

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