2011年數(shù)學(xué)考研大綱已經(jīng)發(fā)布,連續(xù)兩年大綱只字未改,那么考生復(fù)習(xí)的時候?qū)τ诳键c的把握,最主要的來自于真題。那么我們可以需要了解真題對于概率統(tǒng)計各個考點的題型設(shè)置、難度把握、以及考試計算量的分布。
在歷年的考研數(shù)學(xué)中,概率統(tǒng)計部分的概念多,公式多,結(jié)論多,綜合運(yùn)用多。在數(shù)一中概率統(tǒng)計分值為34分,占22.6%。部分考生由于大學(xué)階段未學(xué)過或雖學(xué)過但由于時間較短來不及復(fù)習(xí)而痛失基本題的分值,這非?上。
因此本文希望能幫助同學(xué)梳理概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識點,突出概率統(tǒng)計考題特點:概念多,內(nèi)涵少,理論依據(jù)不復(fù)雜,而且解法單一。望能幫助學(xué)員理清重點,有的放矢。
一、 隨機(jī)事件與概率
本章需要掌握概率統(tǒng)計的基本概念,公式。其核心內(nèi)容是概率的基本計算,尤其要熟練掌握古典概型題目的求解,在計算中需要綜合運(yùn)用概率的加法公式、乘法公式、全概率公式以及貝葉斯(Bayes)公式,還需要熟悉排列組合綜合運(yùn)用。
二、 隨機(jī)變量及其分布
本章必須掌握六種典型的隨機(jī)變量的分布函數(shù)(密度函數(shù))。離散型隨機(jī)變量有0—1分布、二項分布B(n,p)、泊松(Poisson)分布 ;連續(xù)型隨機(jī)變量均勻分布U(a,b)、正態(tài)分布 、指數(shù)分布 。這些典型的隨機(jī)變量必須熟練掌握他們的分布函數(shù),密度函數(shù)。當(dāng)然這些公式在記憶可能有些難度,因此可以用對應(yīng)模型記憶,比如二項分布概率公式,可以理解成把一枚硬幣重復(fù)拋N次,正面朝上的概率是多少。這樣才是在理解基礎(chǔ)上的記憶,效果明顯,既不容易忘,又能夠正確運(yùn)用到題目的解決中;
隨機(jī)變量函數(shù)的分布,尤其是隨機(jī)變量X,Y的加法、最大值的函數(shù)分布在08,07年均考過。這部分同時需要結(jié)合重積分的計算。
三、 多維隨機(jī)變量的分布
理解二維離散、連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布(密度)、邊緣分布(密度)的概念;
熟練計算條件概率密度(常見考點);
能夠應(yīng)用重積分的性質(zhì)計算二維隨機(jī)變量簡單函數(shù)的分布,會求多個相互獨(dú)立隨機(jī)變量簡單函數(shù)的分布。
四、 隨機(jī)變量的數(shù)字特征
刻畫隨機(jī)變量的性質(zhì)的數(shù)字特征是概率統(tǒng)計的重要內(nèi)容,不僅是本章內(nèi)容的重點,并且在全書中,亦是考察的重點、難點。
熟練掌握數(shù)字特征,包括數(shù)學(xué)期望(均值)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差定義及其性質(zhì);
在掌握這些基本概念后,需要會計算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)性質(zhì)及其公式,尤其是變量的函數(shù)的期望、方差公式(這些是在后面統(tǒng)計章節(jié)運(yùn)用最多的公式);
獨(dú)立與相關(guān)性概念區(qū)分。獨(dú)立能夠推出不相關(guān),反之并不一定成立。因相關(guān)性考察的是隨機(jī)變量間的線性關(guān)系,兩個隨機(jī)變量可能不存在線性關(guān)系(及不相關(guān)),但是有其他的函數(shù)關(guān)系,因此并不一定獨(dú)立。并且注意二維正態(tài)隨機(jī)變量的獨(dú)立性與相關(guān)性的等價性(這點在題目中經(jīng)常體現(xiàn))。
五、 大數(shù)定律和中心極限定理
了解大數(shù)定律和中心極限定理的內(nèi)容,并熟記它們成立的條件(獨(dú)立同分布)。
求解各概率分布已知的若干個獨(dú)立隨機(jī)變量組成的系統(tǒng)滿足某種關(guān)系的概率(或已知概率求隨機(jī)變量個數(shù))的問題,一般采用中心極限定理處理。
六、 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念
本章是統(tǒng)計章節(jié)的基石,因此需要非常熟練掌握其中的定義,運(yùn)算法則。
數(shù)理統(tǒng)計的基本概念主要是總體、簡單隨機(jī)樣本、統(tǒng)計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩。重點是正態(tài)總體的抽樣分布,包括樣本均值、樣本方差、樣本矩、兩個樣本的均值差、兩個樣本方差比的抽樣分布;
熟練掌握 分布、t分布和F分布的概念性質(zhì).可了解它們之間的關(guān)系,來記憶它們的定義(這三個分布式后續(xù)章節(jié)統(tǒng)計方法的基礎(chǔ),需要熟練掌握它們的定義及數(shù)字特征);
若為總體X的一組簡單隨機(jī)樣本,則凡是涉及到統(tǒng)計量的分布問題,一般要用到 分布,t分布和F分布的定義進(jìn)行討論;
正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布,所得到的3個定理,是后續(xù)章節(jié)的理論基礎(chǔ),并且其結(jié)論是考試的重點!!
七、 參數(shù)估計
參數(shù)估計是統(tǒng)計中的基本方法,尤其是點估計,是比較常用,簡單,也是歷年考試的重點,基本上每年的考試都會涉及到點估計。
掌握矩估計法(一階矩、二階矩)和最大似然估計法。這兩個估計法思路清晰,求法固定,而且基本作為解答題出現(xiàn),因此可以說是考試的得分題目;
估計量的估計量的無偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念,其中估計量的無偏性是歷年的考試重點。(?键c:樣本方差是總體的方差的無偏估計);
理解區(qū)間估計的概念,會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間,會求兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間(本節(jié)需要熟練掌握上一章的3個定理)。
八、 假設(shè)檢驗
假設(shè)檢驗是在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式,但不知其參數(shù)的情況下,提出對總體的假設(shè),是統(tǒng)計方法的另一類思路。
基本上,我們需要了解顯著性檢驗的基本思想,掌握假設(shè)檢驗的基本步驟,了解假設(shè)檢驗可能產(chǎn)生的兩類錯誤;
掌握單個及兩個正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗。
2010年概率統(tǒng)計考點分布 |
得分率 | ||||||
選擇題(2題) |
分布函數(shù)的定義 |
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均勻分布、正態(tài)分布的密度函數(shù) |
連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)歸一性 |
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填空題(1題) |
離散隨機(jī)變量的二階矩的計算 |
離散隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)歸一性 |
泊松分布的數(shù)字特征 |
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解答題(2題) |
二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)歸一性 |
二維隨機(jī)變量的條件密度函數(shù) |
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無偏估計定義 |
離散隨機(jī)變量的期望計算 |
二項分布的應(yīng)用 |
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2009年概率統(tǒng)計考點分布 |
得分率 | ||||||
選擇題(2題) |
正態(tài)分布定義 |
數(shù)學(xué)期望 |
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分布函數(shù)的定義 |
基本公 |
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填空題 (1 題) |
二項分布的定義及其數(shù)字特征 |
樣本均值 , 樣本方差 樣本方差是總體樣本的無偏估計量 |
無偏估計,數(shù)字特征的函數(shù)運(yùn)算 |
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解答題 ( 2 題) |
條件概率 |
古典概型 |
離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律 |
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矩估計量 |
最大似然估計量 |
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2008 年概率統(tǒng)計考點分析 |
得分率 | ||||||
選擇題 ( 2 題) |
隨機(jī)變量函數(shù)的分布 |
分布獨(dú)立性的應(yīng)用 |
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29% | |||
相關(guān)系數(shù)的性質(zhì);定理有 |
正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化 |
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62.3% | ||||
填空題 ( 1 題) |
方差定義 ( 與二階矩的不同 ) |
泊松分布的分布函數(shù) , 數(shù)字 特征 |
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36.6% | |||
解答題 ( 2 題) |
條件概率 |
二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 |
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樣本均值 , 樣本方差性質(zhì)及其分布 |
無偏估計量 |
尤其是正態(tài)分布 , 卡方分布的數(shù)字特征 |
35.3% | ||||
2007 年概率統(tǒng)計考點分析 |
得分率 | ||||||
選擇題 ( 2 題) |
二項分布 |
獨(dú)立性 |
乘法公式 |
64.4% | |||
不相關(guān)與獨(dú)立的區(qū)別正態(tài)分布下的個概念的等價 |
條件概率密度 |
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66.6% | ||||
填空題 ( 1 題) |
二維均勻分布的概率的求法 |
雙重積分的計算 |
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41.4% | |||
解答題 ( 2 題) |
二維隨機(jī)變量的概率 |
二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 |
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32.8% | |||
矩估計 |
無偏估計量 |
隨機(jī)變量的數(shù)字特征 |
35% |