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　　點(diǎn)擊查看：2017年成人高考《數(shù)學(xué)（文）》章節(jié)難點(diǎn)解析匯總

　　難點(diǎn)11 函數(shù)中的綜合問題

　　函數(shù)綜合問題是歷年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容之一，一般難度較大，考查內(nèi)容和形式靈活多樣.本節(jié)課主要幫助考生在掌握有關(guān)函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，掌握基本解題技巧和方法，并培養(yǎng)考生的思維和創(chuàng)新能力.

　　●難點(diǎn)磁場(chǎng)

　　(★★★★★)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當(dāng)x>0時(shí)f(x)<0且f(3)=-4.

　　(1)求證：f(x)為奇函數(shù);

　　(2)在區(qū)間[-9，9]上，求f(x)的最值.

　　●案例探究

　　[例1]設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，對(duì)任意x1、x2∈[0, ],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.

　　(1)求f( )、f( );

　　(2)證明f(x)是周期函數(shù);

　　(3)記an=f(n+ ),求 命題意圖：本題主要考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識(shí)，還考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力.

　　知識(shí)依托：認(rèn)真分析處理好各知識(shí)的相互聯(lián)系，抓住條件f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)找到問題的突破口.

　　錯(cuò)解分析：不會(huì)利用f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)進(jìn)行合理變形.

　　技巧與方法：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)變形為 是解決問題的關(guān)鍵.

　　(1) 解：因?yàn)閷?duì)x1,x2∈[0, ],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)= ≥0,

　　x∈[0,1]

　　又因?yàn)閒(1)=f( + )=f( )·f( )=[f( )]2

　　f( )=f( + )=f( )·f( )=[f( )]2

　　又f(1)=a>0

　　∴f( )=a ,f( )=a (2)證明：依題意設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故f(x)=f(1+1-x),即f(x)=f(2-x),x∈R.

　　又由f(x)是偶函數(shù)知f(-x)=f(x),x∈R

　　∴f(-x)=f(2-x),x∈R.

　　將上式中-x以x代換得f(x)=f(x+2)，這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)

　　周期.

　　(3)解：由(1)知f(x)≥0,x∈[0,1]

　　∵f( )=f(n· )=f( +(n-1) )=f( )·f((n-1)· )

　　=……

　　=f( )·f( )·……·f( )

　　=[f( )]n=a ∴f( )=a .

　　又∵f(x)的一個(gè)周期是2

　　∴f(2n+ )=f( ),因此an=a ∴ [例2]甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過c千米/小時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b,固定部分為a元.

　　(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域;

　　(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛?

　　命題意圖：本題考查建立函數(shù)的模型、不等式性質(zhì)、最值等知識(shí)，還考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

　　知識(shí)依托：運(yùn)用建模、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法.

　　錯(cuò)解分析：不會(huì)將實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù)問題，易忽略對(duì)參變量的限制條件.

　　技巧與方法：四步法：(1)讀題;(2)建模;(3)求解;(4)評(píng)價(jià).

　　解法一：(1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為 ,全程運(yùn)輸成本為y=a· +bv2· =S( +bv)

　　∴所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥=S( +bv),v∈(0,c .

　　(2)依題意知，S、a、b、v均為正數(shù)

　　∴S( +bv)≥2S ①

　　當(dāng)且僅當(dāng) =bv,即v= 時(shí)，①式中等號(hào)成立.若 ≤c則當(dāng)v= 時(shí)，有ymin;

　　若 >c,則當(dāng)v∈(0,c 時(shí)，有S( +bv)-S( +bc)

　　=S[( - )+(bv-bc)]= (c-v)(a-bcv)

　　∵c-v≥0,且c>bc2,∴a-bcv≥a-bc2>0

　　∴S( +bv)≥S( +bc),當(dāng)且僅當(dāng)v=c時(shí)等號(hào)成立，也即當(dāng)v=c時(shí)，有ymin;

　　綜上可知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng) ≤c時(shí)，行駛速度應(yīng)為v= ,當(dāng) >c時(shí)行駛速度應(yīng)為v=c.

　　解法二：(1)同解法一.

　　(2)∵函數(shù)y=x+ (k>0),x∈(0,+∞),當(dāng)x∈(0, )時(shí)，y單調(diào)減小，當(dāng)x∈( ,+∞)時(shí)y單調(diào)增加，當(dāng)x= 時(shí)y取得最小值，而全程運(yùn)輸成本函數(shù)為y=Sb(v+ ),v∈(0,c .

　　∴當(dāng) ≤c時(shí)，則當(dāng)v= 時(shí)，y最小，若 >c時(shí)，則當(dāng)v=c時(shí)，y最小.結(jié)論同上.

　　●錦囊妙計(jì)

　　在解決函數(shù)綜合問題時(shí)，要認(rèn)真分析、處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)和方法逐步化歸為基本問題來解決，尤其是注意等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的綜合運(yùn)用.綜合問題的求解往往需要應(yīng)用多種知識(shí)和技能.因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識(shí)，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件.

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