難點(diǎn)8 奇偶性與單調(diào)性(二)
函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一,特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出.本節(jié)主要幫助考生學(xué)會怎樣利用兩性質(zhì)解題,掌握基本方法,形成應(yīng)用意識.
●難點(diǎn)磁場
(★★★★★)已知偶函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),且f(2)=0,解不等式f[log2(x2+5x+4)]≥0.
●案例探究
[例1]已知奇函數(shù)f(x)是定義在(-3,3)上的減函數(shù),且滿足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,設(shè)不等式解集為A,B=A∪{x|1≤x≤},求函數(shù)g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值.
命題意圖:本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目,考生必須具有綜合運(yùn)用知識分析和解決問題的能力,屬★★★★級題目.
知識依托:主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題.
錯解分析:題目不等式中的“f”號如何去掉是難點(diǎn),在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時(shí),學(xué)生容易漏掉定義域.
技巧與方法:借助奇偶性脫去“f”號,轉(zhuǎn)化為xcos不等式,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行集合運(yùn)算和求最值.
解:由且x≠0,故0<x<,
又∵f(x)是奇函數(shù),∴f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2),又f(x)在(-3,3)上是減函數(shù),
∴x-3>3-x2,即x2+x-6>0,解得x>2或x<-3,綜上得2<x<,即A={x|2<x<},
∴B=A∪{x|1≤x≤}={x|1≤x<},又g(x)=-3x2+3x-4=-3(x-)2-知:g(x)在B上為減函數(shù),∴g(x)max=g(1)=-4.
[例2]已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/FONT>R,且f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),是否存在實(shí)數(shù)m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)對所有θ∈[0,]都成立?若存在,求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍,若不存在,說明理由.
命題意圖:本題屬于探索性問題,主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運(yùn)算能力,屬★★★★★題目.
知識依托:主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.
錯解分析:考生不易運(yùn)用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題,特別不易考慮運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法.
技巧與方法:主要運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題.
解:∵f(x)是R上的奇函數(shù),且在[0,+∞)上是增函數(shù),∴f(x)是R上的增函數(shù).于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),
即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0.
設(shè)t=cosθ,則問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2-mt+2m-2=(t-)2-+2m-2在[0,1]上的值恒為正,又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在[0,1]上的最小值為正.
∴當(dāng)<0,即m<0時(shí),g(0)=2m-2>0m>1與m<0不符;
當(dāng)0≤≤1時(shí),即0≤m≤2時(shí),g(m)=-+2m-2>0
4-2<m<4+2,∴4-2<m≤2.
當(dāng)>1,即m>2時(shí),g(1)=m-1>0m>1.∴m>2
綜上,符合題目要求的m的值存在,其取值范圍是m>4-2.
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