難點7  奇偶性與單調(diào)性(一)

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象.

難點磁場

(★★★★)設(shè)a>0,f(x)=是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明： f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù).

案例探究

［例1］已知函數(shù)f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明：

(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減.

命題意圖：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運算能力和邏輯推理能力.屬★★★★題目.

知識依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想.

錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準(zhǔn)確，運算技能不過關(guān)，結(jié)果很難獲得.

技巧與方法：對于(1)，獲得f(0)的值進(jìn)而取x=－y是解題關(guān)鍵；對于(2)，判定的范圍是焦點.

證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)為奇函數(shù).

(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.

令0<x1<x2<1,則f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f()

∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0,

又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0

∴x2－x1<1－x2x1,

∴0<<1,由題意知f()<0，��

即f(x2)<f(x1).

∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0.

∴f(x)在(－1，1)上為減函數(shù).

［例2］設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間.

命題意圖：本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的基本應(yīng)用以及對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法.本題屬于★★★★★級題目.

知識依托：逆向認(rèn)識奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域問題.

錯解分析：逆向思維受阻、條件認(rèn)識不清晰、復(fù)合函數(shù)判定程序紊亂.

技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關(guān)鍵在于讀題過程中對條件的思考與認(rèn)識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法.

解：設(shè)0<x1<x2,則－x2<－x1<0，∵f(x)在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增，

∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),

∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.

由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.

又a2－3a+1=(a－)2－.

∴函數(shù)y=()的單調(diào)減區(qū)間是［，+∞］

結(jié)合0<a<3,得函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間為［，3).

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