現(xiàn)在的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求矩陣{1, 1, 1, 0}的乘方。如果簡(jiǎn)單第從0開始循環(huán)，n次方將需要n次運(yùn)算，并不比前面的方法要快。但我們可以考慮乘方的如下性質(zhì)：

　　/ an/2*an/2 n為偶數(shù)時(shí)

　　an=

　　\ a(n-1)/2*a(n-1)/2 n為奇數(shù)時(shí)

　　要求得n次方，我們先求得n/2次方，再把n/2的結(jié)果平方一下。如果把求n次方的問(wèn)題看成一個(gè)大問(wèn)題，把求n/2看成一個(gè)較小的問(wèn)題。這種把大問(wèn)題分解成一個(gè)或多個(gè)小問(wèn)題的思路我們稱之為分治法。這樣求n次方就只需要logn次運(yùn)算了。

　　實(shí)現(xiàn)這種方式時(shí)，首先需要定義一個(gè)2×2的矩陣，并且定義好矩陣的乘法以及乘方運(yùn)算。當(dāng)這些運(yùn)算定義好了之后，剩下的事情就變得非常簡(jiǎn)單。完整的實(shí)現(xiàn)代碼如下所示。

　　#include

　　///////////////////////////////////////////////////////////////////////

　　// A 2 by 2 matrix

　　///////////////////////////////////////////////////////////////////////

　　struct Matrix2By2

　　{

　　Matrix2By2

　　(

　　long long m00 = 0,

　　long long m01 = 0,

　　long long m10 = 0,

　　long long m11 = 0

　　)

　　:m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11)

　　{

　　}

　　long long m_00;

　　long long m_01;

　　long long m_10;

　　long long m_11;

　　};

　　///////////////////////////////////////////////////////////////////////

　　// Multiply two matrices

　　// Input: matrix1 - the first matrix

　　// matrix2 - the second matrix

　　//Output: the production of two matrices

　　///////////////////////////////////////////////////////////////////////

　　Matrix2By2 MatrixMultiply

　　(

　　const Matrix2By2& matrix1,

　　const Matrix2By2& matrix2

　　)

　　{

　　return Matrix2By2(

　　matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,

　　matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,

　　matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,

　　matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);

　　}

　　///////////////////////////////////////////////////////////////////////

　　// The nth power of matrix

　　// 1 1

　　// 1 0

　　///////////////////////////////////////////////////////////////////////

　　Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)

　　{

　　assert(n > 0);

　　Matrix2By2 matrix;

　　if(n == 1)

　　{

　　matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);

　　}

　　else if(n % 2 == 0)

　　{

　　matrix = MatrixPower(n / 2);

　　matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);

　　}

　　else if(n % 2 == 1)

　　{

　　matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);

　　matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);

　　matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));

　　}

　　return matrix;

　　}

　　///////////////////////////////////////////////////////////////////////

　　// Calculate the nth item of Fibonacci Series using devide and conquer

　　///////////////////////////////////////////////////////////////////////

　　long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)

　　{

　　int result[2] = {0, 1};

　　if(n < 2)

　　return result[n];

　　Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);

　　return PowerNMinus2.m_00;

　　}

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